Question

【題目】如圖①，A，E，F，C在一條直線上，AE＝CF，過點E，F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD.

(1)求證：BD平分EF.

(2)若將△DEC的邊EC沿AC方向移動變為圖②，其余的條件不變，上述結論是否仍成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)結論仍成立，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFG≌△DGE，從而得出FG=EG，即BD平分EF．
（2）結論仍然成立，同樣可以證明得到．

試題解析：(1)∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，

∴AF＝CE.

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.

又∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．

∴BF＝DE.

又∵∠BGF＝∠DGE，

∴△BFG≌△DEG(AAS)．

∴GF＝GE，即BD平分EF.

(2)結論仍成立．理由如下：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.

∵AE＝CF，∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.

∵AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．

∴BF＝DE.

又∵∠BGF＝∠DGE，

∴△BFG≌△DEG(AAS)．

∴GF＝GE，即BD平分EF.