Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵菱形AFED，

∴AF=AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，

∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，

即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數量關系是AC=CF﹣CD，

理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，

∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，

即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠DAB=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，

即AC=CD﹣CF．

【解析】（1）根據已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；（2）求出∠BAD=∠CAF，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；（3）畫出圖形后，根據SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．