Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發，沿邊CA往A運動，當運動點A時停止，若設點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒2個單位長度．
（1）當t=2時，CD=

 

，AD=

 

；（請直接寫出答案）
（2）當t=

 

時，△CBD是直角三角形；（請直接寫出答案）
（3）求當t為何值時，△CBD是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定,勾股定理

專題：動點型

分析：（1）根據CD=速度×時間列式計算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據AD=AC-CD代入數據進行計算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據時間=路程÷速度計算即可得解；
（3）分①CD=BD時，過點D作DE⊥BC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時，CD=6；③BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據等腰三角形三線合一的性質可得CD=2CF，再由（2）的結論解答．

解答：解：（1）t=2時，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=

AB2+BC2

=

202+152

=25，
AD=AC-CD=25-4=21；

（2）①∠CDB=90°時，S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

AB•BC，
即

1

2

×25•BD=

1

2

×20×15，
解得BD=12，
所以CD=

BC2-BD2

=

152-122

=9，
t=9÷2=4.5（秒）；
②∠CBD=90°時，點D和點A重合，
t=25÷2=12.5（秒），
綜上所述，t=4.5或12.5秒；
故答案為：（1）4，21；（2）4.5或12.5秒；

（3）①CD=BD時，如圖1，過點D作DE⊥BC于E，
則CE=BE，
CD=AD=

1

2

AC=

1

2

×25=12.5，
t=12.5÷2=6.25；
②CD=BC時，CD=15，t=15÷1=7.5；
③BD=BC時，如圖2，過點B作BF⊥AC于F，
則CF=9，
CD=2CF=9×2=18，
t=18÷2=9，
綜上所述，t=6.25或7.5或9秒時，△CBD是等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質，三角形的面積，（2）（3）難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．