Question

已知：如圖，正方形的邊長為1，可以算出一個正方形的對角線長為．
（1）求兩個正方形并排成的矩形的對角線長及三個正方形并排成的矩形的對角線長，進而猜想出n個正方形并排成的矩形的對角線長；
（2）在圖（2）中找出一對相似三角形并加以說明；
（3）由圖（3）在下列所給的三個結論中，選擇一個正確的結論加以證明：
①∠BCE+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．

Answer 1

解：
（1）由勾股定理得：矩形的對角線分別為：，，．

（2）△EBC∽△DBE．
證明：BC=1，BD=2，BE=，
∴=，=．
∴=．
又∵∠EBD=∠CBE，
∴△EBC∽△DBE．

（3）選擇（1），由△EBC∽△DBE得∠BED=∠BCE，
又∵∠ABE=∠BED+∠BDE=45°，
即∠BCE+∠BDE=45°．
選擇（2），（3）同理．
分析：（1）根據勾股定理直接計算．
（2）觀察圖形，根據相似三角形的判定得出結論．
（3）如果選擇（1），因為∠ABE=∠BED+∠BDE=45°，只需證明∠BED=∠BCE即可．
點評：本題主要考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．