Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．

（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AE=EF，請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出是哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請(qǐng)給出證明；
②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）△AGE與△ECF全等  ①AE=EF，證明見(jiàn)解析  ②F(，?1)

（1）取AB的中點(diǎn)G，連接EG，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；
②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，根據(jù)FH=BE=CH設(shè)BH=a，則FH=a-1，然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上得到有關(guān)a的方程求得a值即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（1）解：如圖1，取AB的中點(diǎn)G，連接EG．

△AGE與△ECF全等．
（2）①若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)時(shí)AE=EF總成立．
證明：如圖2，在AB上截取AM=EC．

∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．
②過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，
由①知，F(xiàn)H=BE=CH，
設(shè)BH=a，則FH=a-1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（a，a-1）
∵點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x²+x+1上，
∴a-1=-a²+a+1，
∴a²=2，a=±（負(fù)值不合題意，舍去），
∴a?1＝?1．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(，?1)．