Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，BO的延長線交AC于點D，連接OA、OC．

（1）求證：△OAD∽△ABD；

（2）當△OCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；

（3）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，如果S22＝S1S3，試證明點D為線段AC的黃金分割點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或；（3）見解析．

【解析】

（1）先判斷出，即可得出結論；

（2）分兩種情況：當時，先判斷出是等邊三角形，進而判斷出，再求出即可得出結論；當，利用等腰直角三角形，即可得出結論；

（3）先表示出，，，再由，得出，化簡得出，即可得出結論．

（1）證明：，，

，

，

，

；

（2）解：是直角三角形，

當時，連接，如圖1，

，

，

，

，

是等邊三角形，

，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

；

當時，連接，如圖2，

，

，

，

故、兩點的距離為或；

（3）證明：如圖3，

過點作于，于，

由（1）知，，

，

、、的面積分別為，，，

，

，

，

點為線段的黃金分割點．