Question

（1）已知如圖，點C在線段AB上，線段AC=10，BC=6，點M、N分別是AC、BC的中點，求MN的長度．
（2）根據（1）的計算過程與結果，設AC+BC=a，其它條件不變，你能猜想出MN的長度嗎？請用一句簡潔的語言表達你發現的規律；
（3）若把（1）中的“點C在線段AB上”改為“點C在直線AB上”，結論又如何？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據“點M、N分別是AC、BC的中點”，先求出MC、CN的長度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的長度；
（2）與（1）同理，先用AC、BC表示出MC、CN，MN的長度就等于AC與BC長度和的一半；
（3）本題應考慮到A、B、C三點之間的位置關系的多種可能，即當點C在線段AB上時和當點C在線段AB的延長線上時．

解答：解：（1）∵點M、N分別是AC、BC的中點，
∴CM=

1

2

AC=5，CN=

1

2

BC=3，
∴MN=CM+CN=5+3=8；

（2）MN的長度為：

1

2

a．
∵同（1）可得CM=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，
∴MN=CM+CN=

1

2

AC+

1

2

BC=

1

2

（AC+BC）=

1

2

a，
即MN的長度就等于AC與BC長度和的一半；

（3）①當點C在線段AB上時，則MN=

1

2

AC+

1

2

BC=8；
②當點C在線段AB的延長線上時，則MN=

1

2

AC-

1

2

BC=5-3=2．

點評：此題考查的知識點是兩點間的距離，利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．