Question

如圖，矩形OABC的邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上，B點的坐標為(1，3)．矩形O'A'BC'是矩形OABC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)得到的．O'點恰好在x軸的正半軸上， O'C'交AB于點D.

(1)求點O'的坐標，并判斷△O'DB的形狀（要說明理由）(4分)
(2)求邊C'O'所在直線的解析式．(4分)
(3)延長BA到M使AM=1，在(2)中求得的直線上是否存在點P，使得ΔPOM是以線段OM為直角邊的直角三角形?若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．(2分)

Answer 1

(1)點O'的坐標(2，0)，△O'DB為等腰三角形(理由略) ，(2)邊C'O'所在直線的解析式：(3)P(2,0)  

（1）連接OB，O′B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OB=O′B，再根據(jù)矩形的性質(zhì)BA⊥OA，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AO=AO′，然后根據(jù)點B的坐標求出AO的長度，再得到AO′的長度，點O′的坐標即可得到；利用角角邊證明△BC′D與△O′AD全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等得到BD=O′D，所以△O′DB是等腰三角形；
（2）設點D的坐標是（1，a），表示出O′D的長度，然后利用勾股定理列式求出a的值，從而得到點D的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法列式即可求出直線C′O′的解析式；
（3）根據(jù)AM=1可得△AOM是等腰直角三角形，然后分①PM是另一直角邊，∠PMA=45°，②PO是另一直角邊，∠POA=45°兩種情況列式進行計算即可得解．