Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．

（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標為（3，0），；（2）不存在；（3）0≤|QA﹣QO|≤4．

【解析】

試題分析：（1）點A的坐標是縱坐標為0，得橫坐標為8，所以點A的坐標為（8，0）；

點B的坐標是橫坐標為0，解得縱坐標為6，所以點B的坐標為（0，6）；

由題意得：BC是∠ABO的角平分線，所以OC=CH，BH=OB=6．

∵AB=10，∴AH=4，設OC=x，則AC=8﹣x，由勾股定理得：x=3，∴點C的坐標為（3，0）

將此三點代入二次函數一般式，列的方程組即可求得；

（2）求得直線BC的解析式，根據平行四邊形的性質，對角相等，對邊平行且相等，借助于三角函數即可求得；

（3）如圖，由對稱性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．當點Q與點B重合時，Q、H、A三點共線，|QA﹣QO|取得最大值4（即為AH的長）；設線段OA的垂直平分線與直線BC的交點為K，當點Q與點K重合時，|QA﹣QO|取得最小值0．

試題解析：（1）點C的坐標為（3，0）．∵點A、B的坐標分別為A（8，0），B（0，6），∴可設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣8）．將x=0，y=6代入拋物線的解析式，得，∴過A、B、C三點的拋物線的解析式為；

（2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點D的坐標為（，），設拋物線的對稱軸與x軸的交點為G．直線BC的解析式為y=﹣2x+6．

設點P的坐標為（x，﹣2x+6）．

解法一：如圖，作OP∥AD交直線BC于點P，連接AP，作PM⊥x軸于點M．

∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．

解得x=．經檢驗x=是原方程的解．此時點P的坐標為（，）．

但此時OM=，GA=，OM＜GA．∵OP=，AD=，∠POM=∠GAD，∴OP＜AD，即四邊形的對邊OP與AD平行但不相等，∴直線BC上不存在符合條件的點P．

解法二：如圖，取OA的中點E，作點D關于點E的對稱點P，作PN⊥x軸于點N．則∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由OE==4，可得E點的坐標為（4，0）．

NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG．∴點P的坐標為（，）．

∵x=時，-2x+6=1≠，∴點P不在直線BC上．∴直線BC上不存在符合條件的點P．

（3）|QA﹣QO|的取值范圍是0≤|QA﹣QO|≤4．

當Q在OA的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點K處），此時OK=AK，則|QA﹣QO|=0，當Q在AH的延長線與直線BC交點時，此時|QA﹣QO|最大，直線AH的解析式為：，直線BC的解析式為：y=﹣2x+6，聯立可得：交點為（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范圍是：0≤|QA﹣QO|≤4．