Question

已知直線y=﹣x+6，交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x²+mx+n經過A點，且與直線y=﹣x+6交于另一點P．

（1）若P與B點重合，求拋物線的解析式；

（2）若P在第一象限，過PE⊥x軸于E點，PF⊥y軸于F點，當四邊形PEOF面積為5，求拋物線的解析式；

（3）若△OAP為等腰三角形，求m的值．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）分別令x、y=0，可求出B、A點的坐標，再利用待定系數法即可得出結論；

（2）由四邊形PEOF面積為5可得出P點的坐標，結合A點的坐標利用待定系數法即可求得結論；

（3）設出P點坐標，由兩點間的距離公式表示出△OAP的三條邊，再分類討論相鄰兩邊相等得出結論．

【解答】解：（1）令x=0，則y=6；

令y=0，則﹣x+6=0，解得：x=6．

故A點坐標為（6，0），B點坐標為（0，6）．

∵P與B點重合，

∴有，解得：．

故當P與B點重合，拋物線的解析式為y=x²﹣7x+6．

（2）結合題意畫出圖形，如圖1所示．

∵點P在線段AB上，

∴設P點坐標為（a，﹣a+6）（0＜m＜6），則有PE=6﹣m，PF=m．

四邊形PEOF面積=PE•PF=（6﹣a）×a=5，

解得：a=1，或a=5，

即點P的坐標為（1，5）或（5，1）．

當點P坐標為（1，5）時，有，

解得：，

此時拋物線的解析式為y=x²﹣8x+12；

當點P坐標為（5，1）時，有，

解得：，

此時拋物線的解析式為y=x²﹣12x+36．

綜上可知，拋物線的解析式為y=x²﹣8x+12或者y=x²﹣12x+36．

（3）設點P的坐標為（b，6﹣b）．

∵點O（0，0），點A（6，0），

∴OP=，OA=6﹣0=6，PA=．

∵△OAP為等腰三角形，

∴分三種情況考慮．

①當OP=OA時，有=6，

解得：b=0，或b=6（舍去），

此時P點的坐標為（0，6）．

同（1）一樣，故m=﹣7；

②當OP=PA，即=，

解得：b=3，

此時P點的坐標為（3，3）．

將P（3，3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=﹣10；

③當OA=PA時，有6=，

解得：b=6±3，

此時P點的坐標為（6+3，﹣3）或（6﹣3，3）．

將P（6+3，﹣3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=﹣3﹣13；

將P（6﹣3，3），A（6，0）代入拋物線解析式，得：

，解得m=3﹣13．

綜上可知：當△OAP為等腰三角形，m的值為﹣7，﹣10，﹣3﹣13和3﹣13．

【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式、長方形的面積公式、兩點間的距離公式以及解一元二次方程，解題的關鍵：（1）利用待定系數法求函數解析式；（2）利用長方形的面積找出P點的坐標；（3）由兩點間的距離公式分類討論相鄰兩邊相等的情況．本題屬于中檔題，（1）（2）難度不大，（3）難度也不大，單運算過程很繁瑣，這就需要極大的耐心一步步運算．