Question

如圖四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F。
（1）如圖，當點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是        ；
②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數量關系是           ；
③請證明你的上述兩猜想；
（2）如圖，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想并證明此時DE與EF有怎樣的數量關系。
 

Answer 1

（1）①DE=EF；②NE=BF；③根據正方形的性質及N，E分別為AD，AB的中點可得DN=EB，再根據角平分線的性質及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根據同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結論；（2）DE=EF

試題分析：（1）根據正方形的性質及N，E分別為AD，AB的中點可得DN=EB，再根據角平分線的性質及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根據同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結論；
（2）在DA邊上截取DN=EB，連結NE，點N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根據角平分線的性質可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，再根據同角的余角相等證得∠NDE=∠BEF，即可證得△DNE≌△EBF，從而證得結論.
（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴DE=EF；
（2）在DA邊上截取DN=EB，連結NE，點N就使得NE=BF成立，此時，DE="EF"

∵DN="EB"
∴DA-DN="AB-BE" 即AN=AE
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF.
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.