Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC與點D，過點D作⊙O的切線EF，交AC于點E，交AB的延長線于點F．

求證：（1）BD＝CD；

（2）∠BAC＝2∠EDC．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1) 連接AD，由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則AD⊥BC，因為AB=AC，所以BD=CD;

(2) 連接OD.由AB是⊙O的切線，得到∠ODE=90°，則AD⊥BC，根據三角形內角和定理得到OD=OA ， 由（1）得BD=CD且AB=AC，得到∠BAC=2∠OAD，則∠BAC=2∠EDC.

解：(1) 連接AD.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

又 ∵AB=AC，

∴BD=CD;

(2)連接OD.

∵AB是⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∴∠ODE=90°，

∴AD⊥BC，

∵∠EDC+∠ODE+∠ODB=180°，∴∠EDC+∠ODB=90°.

∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠EDC=∠ADO .

∵OD=OA ，

∴∠OAD=∠ADO，∴∠EDC=∠OAD .

由（1）得BD=CD且AB=AC，∴∠BAC=2∠OAD，∴∠BAC=2∠EDC.