Question

【題目】如圖，正方形OABC的頂點O是坐標原點，邊OA和OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，4）．直線l經過點C．

（1）若直線l與邊OA交于點M，過點A作直線l的垂線，垂足為D，交y軸于點E．

①如圖1，當OE＝1時，求直線l對應的函數表達式；

②如圖2，連接OD，求證：OD平分∠CDE．

（2）如圖3，若直線l與邊AB交于點P，且S△BCP＝S四邊形AOCP，此時，在x軸上是否存在點Q，使△CPQ是以CP為直角邊的直角三角形？若存在，求點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣4x+4；②見解析；（2）存在，點Q（3，0）或（﹣2，0）

【解析】

（1）①由題意可求點A，點C坐標，用待定系數法可求直線AE解析式，由AE⊥直線l，可設直線l的解析式為y＝﹣4x+m，將點C坐標代入，可求直線l的解析式；

②連接AC，由∠AOC＝∠ADC＝90°，可得點C，點A，點D，點O四點共圓，可得∠CAO＝∠ODC＝45°，即OD平分∠CDE；

（2）分∠PCQ＝90°和∠CPQ＝90°兩種情況討論，根據全等三角形的性質和相似三角形的性質可求點Q的坐標．

解：（1）①∵四邊形OABC是正方形，點B（4，4）

∴點A（4，0），點C（0，4），

∴AO＝CO＝AB＝BC＝4，

∵OE＝1

∴點E（0，﹣1）

設直線AE解析式為：y＝kx+b，

∴

解得：k＝，b＝﹣1，

∴直線直線AE解析式為y＝x﹣1，

∵AE⊥直線l，

∴設直線l的解析式為y＝﹣4x+m，且過點C（0，4）

∴m＝4，

∴直線l的解析式為y＝﹣4x+4

②如圖，連接AC，

∵四邊形OABC是正方形，

∴∠COA＝90°，∠CAO＝45°，

∵∠COA＝∠CDA＝90°，

∴點C，點A，點D，點O四點共圓，

∴∠CAO＝∠ODC＝45°

∴∠ODC＝∠CDE

∴OD平分∠CDE

（2）存在

∵S△BCP＝S四邊形AOCP，

∴S△BCP＝S正方形OABC，

∴×4×BP＝×4×4，

∴BP＝2，

∴AP＝AB﹣BP＝2，

如圖，若∠PCQ＝90°，

∴∠QCO+∠OCP＝90°，

又∵∠BCO＝∠BCP+∠OCP＝90°，

∴∠QCO＝∠BCP，且BC＝CO，∠COQ＝∠B＝90°，

∴△BCP≌△OCQ（ASA）

∴BP＝OQ＝2

∴點Q（﹣2，0）

如圖，若∠CPQ＝90°，

∴∠APQ+∠BPC＝90°，

又∵∠BPC+∠BCP＝90°，

∴∠BCP＝∠APQ，且∠B＝∠PAQ＝90°，

∴△APQ∽△BCP

∴

∴

∴AQ＝1，

∴OQ＝AO﹣AQ＝3，

∴點Q（3，0）

綜上所述：點Q（3，0）或（﹣2，0）