Question

【題目】四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．

（1）如圖1，求證：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB=2，CE=，求CG的長度；

（3）當線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時，直接寫出∠EFC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）CG= ;(3)∠EFC=120°或30°.

【解析】分析: （1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根據正方形的判定定理證明即可；

（2）通過計算發現E是AC中點，點F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題.

（3）分兩種情形考慮問題即可

詳解:

（1）證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵∠DCA=∠BCA，

∴EQ=EP，

∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，

∴∠QEF=∠PED，

在Rt△EQF和Rt△EPD中，

，

∴Rt△EQF≌Rt△EPD，

∴EF=ED，

∴矩形DEFG是正方形；

（2）如圖2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，

∵EC=，

∴AE=CE，

∴點F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．

（3）①當DE與AD的夾角為30°時，∠EFC=120°，

②當DE與DC的夾角為30°時，∠EFC=30°

綜上所述，∠EFC=120°或30°．

點睛: 本題考查正方形的性質、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題.