Question

【題目】 拋物線與軸交于點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn).

⑴求直線的解析式；

⑵拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使，利用圖求點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上，利用圖比較與的大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）,（3）當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為5時(shí)，∠OCA=∠OCQ；當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)大于5時(shí)，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)小于5且大于0時(shí)，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．.

【解析】

試題分析：．（1）由拋物線解析式可求得B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；

（2）由直線BC解析式可知∠APB=∠ABC=45°，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性可求得PD=BD，在Rt△BDE中可求得BD，則可求得PE的長(zhǎng)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當(dāng)∠OCQ=∠OCA時(shí)，利用兩角的正切值相等可得到關(guān)于x的方程，可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合圖形可比較兩角的大小．

試題解析：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，

∴B（3，0），C（0，3），∴可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，

把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）∵OB=OC，∴∠ABC=45°，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，

設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，

∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，

∴∠PBA=，∠DPB=∠APB=22.5°，

∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DPB=∠DBP，∴DP=DB，

在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，

∴PE=2+2，∴P（1，2+2）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由對(duì)稱性可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2﹣2）；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；

（3）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，如圖2，過(guò)Q作QF⊥y軸于點(diǎn)F，

當(dāng)∠OCA=∠OCQ時(shí)，則△QEC∽△AOC，

∴，即，解得x=0（舍去）或x=5，

∴當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為5時(shí)，∠OCA=∠OCQ；

當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)大于5時(shí)，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；

當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)小于5且大于0時(shí)，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．