Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB⊥AC，以點A為圓心，AB為半徑的圓交BC于點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）如果BE=4，CE=2，求DE的值．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，AE=DC，
∴∠DAE=∠ADC，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SAS），
∴∠AED=∠DCA=90°，
∴AE⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；
（2）解：作AH⊥BE，如圖，
則BH=CH=BE=2，
∵∠ABH=∠CBA，
∴Rt△BAH∽Rt△BCA，
∴，即，
∴AB=，
∴AE=，
在Rt△AED中，∵AD=BC=6，AE=，
∴DE==．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得AB=CD，BC=AD，AB∥CD，∠B=∠ADC，由AB⊥AC得到AC⊥CD，由AD∥BC得到∠AEB=∠DAE，而AB=AE，所以∠B=∠AEB，AE=DC，∠DAE=∠ADC，于是可證明△AED≌△DCA，得到∠AED=∠DCA=90°，則可根據切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（2）作AH⊥BE，如圖，根據垂徑定理得BH=CH=BE=2，再證明Rt△BAH∽Rt△BCA，利用相似比計算出AB=2 ， 然后在Rt△AED中利用勾股定理計算DE的長．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和切線的判定定理，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．