Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC、BC于點E、F，已知AE=5，CE=3，則DF的長是（　　）

A.3
B.4
C.4.8
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】解：延長EF，過點B作直線平行AC和EF相交于P，
∵AE=5，EC=3，
∴AC=AE+CE=8，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=4，AC⊥BD，
∴OE=OC﹣CE=4﹣3=1，
∵以OB為直徑畫圓M，
∴AC是⊙M的切線，
∵DN是⊙M的切線，
∴EN=OE=1，MN⊥AN，
∴∠DNM=∠DOE=90°，
∵∠MDN=∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM：MN=DE：OE，
∵MN=BM=OM=OB，
∴DM=OD+OM=3MN，
∴DE=3OE=3，
∵OE∥BP，
∴OD：OB=DE：EP，
∵OD=OB，
∴DE=EP=3，
∴BP=2OE=2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF：PF=EC：BP=3：2，
∴EF：EP=3：5，
∴EF=EP×=1.8，
∴DF=DE+EF=3+1.8=4.8．
故選C．

首先延長EF，過點B作直線平行AC和EF相交于P，由菱形的性質，可求得OE的長，證得AC是⊙M的切線，然后由切線長定理，求得EN的長，易證得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．