Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是 上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DFDB；
（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長和⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，

∴∠EAB=∠CBE，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）證明：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE， = ，

∴∠DEA=∠DBE，

∵∠EDB=∠BDE，

∴△DEF∽△DBE，

∴ = ，

∴DE2=DFDB；

（3）解：連接DA、DO，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠EBD=∠OBD，

∴∠EBD=∠ODB，

∴OD∥BE，

∴ = ，

∵PA=AO，

∴PA=AO=OB，

∴ =

∴ = ，

∴ = ，

∵DE=2，

∴PD=4，

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE，

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD，

∵∠P=∠P，

∴△PDA∽△POD，

∴ = ，

設(shè)OA=x，

∴PA=x，PO=2x，

∴ = ，

∴2x2=16，x=2 ，

∴OA=2 ．

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，則CB⊥AB，從而證得BC是⊙O的切線；（2）通過證得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可證得結(jié)論．（3）連接DA、DO，先證得OD∥BE，得出 = ，然后根據(jù)已知條件得出 = = = ，求得PD=4，通過證得△PDA∽△POD，得出 = ，設(shè)OA=x，則PA=x，PO=2x，得出 = ，解得OA=2 ．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．