Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB，求證：

（1）直線DC是⊙O的切線；

（2）AC2=2ADAO．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.

【解析】（1）連接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，據此知OC∥AD，根據AD⊥DC即可得證；

（2）連接BC，證△DAC∽△CAB即可得．

（1）如圖，連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠DAB，

∴∠OAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

又∵AD⊥CD，

∴OC⊥DC，

∴DC是⊙O的切線；

（2）連接BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴AB=2AO，∠ACB=90°，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

又∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴，即AC2=ABAD，

∵AB=2AO，

∴AC2=2ADAO．