Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1 ， 設旋轉角為α（0<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．

（1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等于 ， 線段CE1的長等于；（直接填寫結果）
（2）如圖2，當α=135°時，求證：BD1= CE1 ， 且BD1⊥CE1；
（3）①設BC的中點為M，則線段PM的長為；②點P到AB所在直線的距離的最大值為 ． （直接填寫結果）

Answer 1

【答案】
（1）2 ；2
（2）

證明：當α=135°時，如圖2，

∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

在△D1AB和△E1AC中

∵

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，

記直線BD1與AC交于點F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD1⊥CE1；

（3）2 ；1+
【解析】解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1 ， 設旋轉角為α（0＜α≤180°），
∴當α=90°時，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1= =2 ，E1C= =2 ；
所以答案是：2 ，2 ；
3）解：①如圖2，

∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點為M，
∴PM= BC，
∴PM= =2 ，
所以答案是：2 ；
②如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，

∵D1 ， E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則BD1= =2 ，
故∠ABP=30°，
則PB=2+2 ，
故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+ ．
所以答案是：1+ ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．