Question

【題目】已知，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A （﹣1，﹣4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（﹣2，﹣3），與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)．

（1）求直線OB以及該拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線OB的下方，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N，求MN的最大值；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A的直線交x軸于點(diǎn)E，且AE∥y軸，點(diǎn)P是拋物線上A、D之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線OB解析式為y=x，拋物線為y=x2+2x﹣3；（2）；（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG為定值8．

【解析】

試題分析：（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求直線OB解析式，利用頂點(diǎn)式可求得拋物線解析式；

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），MN=s，則可表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，由MN的縱坐標(biāo)相等可得到關(guān)于s和t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

（3）設(shè)P（t，t2+2t﹣3），則可表示出PQ、CQ、DQ，再利用相似三角形的性質(zhì)可用t分別表示出EF和EG的長(zhǎng)，則可求得其定值．

試題解析：（1）設(shè)直線OB解析式為y=kx，由題意可得﹣3=﹣2k，解得k=，

∴直線OB解析式為y=x，

∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），

∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）2﹣4，

∵拋物線經(jīng)過(guò)B（﹣2，﹣3），

∴﹣3=a﹣4，解得a=1，

∴拋物線為y=x2+2x﹣3；

（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），MN=s，則N的橫坐標(biāo)為t﹣s，縱坐標(biāo)為，

∵MN∥x軸，

∴t2+2t﹣3=，得s==，

∴當(dāng)t=時(shí)，MN有最大值，最大值為；

（3）EF+EG=8．理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q，

在y=x2+2x﹣3中，令y=0可得0=x2+2x﹣3，解得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），D（1，0），

設(shè)P（t，t2+2t﹣3），則PQ=﹣t2﹣2t+3，CQ=t+3，DQ=1﹣t，

∵PQ∥EF，

∴△CEF∽△CQP，

∴，

∴EF=PQ=（﹣t2﹣2t+3），

同理△EGD∽△QPD得，

∴EG=PQ=，

∴EF+EG=（﹣t2﹣2t+3）+=2（﹣t2﹣2t+3）（）=2（﹣t2﹣2t+3）（）=2（﹣t2﹣2t+3）（）=8，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG為定值8．