Question

【題目】如圖，已知、、分別是上的點(diǎn)，，是直徑的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．

(1)求證：與相切；

(2)如果，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)3.

【解析】

（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∠PAC=120°，進(jìn)而得出∠PAO=90°，即可得出答案；

（2）首先根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得半徑，從而求得OA、OP，進(jìn)而利用勾股定理得出AP的長(zhǎng)．

（1）連接AO．

∵∠B=60°，∴∠AOC=120°．

∵AO=CO，AP=AC，∴∠P=∠ACP，∠OCA=∠OAC=30°，∴∠P=∠ACP=∠OCA=∠OAC=30°，∴∠PAC=120°，∴∠PAO=90°，∴AP是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OA=OD=R，OP=+R．

∵∠PAO=90°，∠P=30°，∴OP=2OA，即+R=2R，解得：R=，∴OA=，OP=2，∴PA===3．