Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線（b，c為常數）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過A，B兩點，求該拋物線的函數表達式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q．
（i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點M的坐標；
（ii）取BC的中點N，連接NP，BQ．試探究是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得點B的坐標為（4，﹣1）．
∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點，
∴，解得。
∴拋物線的函數表達式為：。
（2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直線AC的解析式為：y=x﹣1。
設平移前拋物線的頂點為P₀，則由（1）可得P₀的坐標為（2，1），且P₀在直線AC上。
∵點P在直線AC上滑動，∴可設P的坐標為（m，m﹣1）。
則平移后拋物線的函數表達式為：。
解方程組：，解得，。
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）。
過點P作PE∥x軸，過點Q作QE∥y軸，則
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，
∴PQ==AP₀。
若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：
①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為（即為PQ的長），
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P₀（2，1）可知，
△ABP₀為等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=。
如答圖1，過點B作直線l₁∥AC，交拋物線于點M，則M為符合條件的點。
∴可設直線l₁的解析式為：y=x+b₁。
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b₁，解得b₁=﹣5。∴直線l₁的解析式為：y=x﹣5。
解方程組，得：，。
∴M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7）。

②當PQ為斜邊時：MP=MQ=2，可求得點M到PQ的距離為．
如答圖1，取AB的中點F，則點F的坐標為（2，﹣1）。
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P₀（2，1）可知：
△AFP₀為等腰直角三角形，且點F到直線AC的距離為。
過點F作直線l₂∥AC，交拋物線于點M，則M為符合條件的點。
∴可設直線l₂的解析式為：y=x+b₂，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b₂，解得b₁=﹣3。∴直線l₂的解析式為：y=x﹣3。
解方程組，得：，。
∴M₃（，），M₄（，）。
綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：
M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7），M₃（，），M₄（，）。
（ii）存在最大值。理由如下：
由（i）知PQ=為定值，則當NP+BQ取最小值時，有最大值。
如答圖2，取點B關于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q。

連接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形。
∴NP=FQ。
∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。
∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為。
∴的最大值為。

（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的函數表達式。
（2）（i）首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長度，作為后續計算的基礎。
若△MPQ為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：
①當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為．此時，將直線AC向右平移4個單位后所得直線（y=x﹣5）與拋物線的交點，即為所求之M點。
②當PQ為斜邊時：點M到PQ的距離為．此時，將直線AC向右平移2個單位后所得直線（y=x﹣3）與拋物線的交點，即為所求之M點．
（ii）由（i）可知，PQ=為定值，因此當NP+BQ取最小值時，有最大值。如答圖2所示，作點B關于直線AC的對稱點B′，由解析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度。