Question

【題目】如圖，是☉的直徑，為☉上一點(diǎn)，是半徑上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作射線，分別交弦，于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交射線于點(diǎn)．

（1）求證：．

（2）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，

①若，判斷以為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，并說(shuō)明理由；

②若，且，則_________．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；②9

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OC⊥CF以及∠OBC=∠OCB得∠FCD=∠FDC，可證得結(jié)論；
（2）①如圖2，連接OC，OE，BE，CE，可證△BOE，△OCE均為等邊三角形，可得OB=BE=CE=OC，可得結(jié)論；
②設(shè)AC=3k，BC=4k（k＞0），由勾股定理可求k=6，可得AC=18，BC=24，由面積法可求PE，由勾股定理可求OP的長(zhǎng)．

（1）證明：如圖1，連接，則．

，

．

，

，

．

，

，

．

又，

，

．

（2）解：如圖2，連接與交于點(diǎn)．

①以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．理由如下：

是直徑，

．

，

．

是的中點(diǎn)，

．

又，

均為等邊三角形，

，

四邊形是菱形．

②

設(shè)，則．

在中，由勾股定理，得，即，

解得，

．

是的中點(diǎn)，

，

，即，解得．

在中，由勾股定理，得.

故答案為：9.