Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、AC為底邊向△ABC的外側作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．試探究線段FD、FE的數量關系，并加以證明．
說明：如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，可以從圖2、3中選取一個，并分別補充條件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的證明．

Answer 1

分析：本題的解題思路是通過利用等腰三角形的性質，構建平行四邊形先根據平行四邊形的判定，證明所構建的圖形是平行四邊形，從而得出答案．

解答：解：猜想：DF=FE．
證明：過點D作DN⊥AB于N，連接NE．
∵DA=DB，DN⊥AB，
∴BN=AN，
過N作NE⊥AC，于點G，
∴∠NGA=90°，
∵∠BCA=90°，
∴NG∥BC，
∵BN=AN，
∴CG=GA，
∵CE=AE，
∴EG⊥AC，
∴N、G、E在一條直線上，
∵DA⊥CA，NE⊥AC，
∴NE∥AD，
又∵DN⊥AB，EA⊥BA，
∴DN∥EA，
∴四邊形DNEA是平行四邊形，
∴DF=EF（平行四邊形對角線互相平分）．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與判定等知識點，在做題時要注意隱含條件的運用．