Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．點D在線段PQ上，且PD=PC．

（1）求證：PQ∥AB；
（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，

∴AC= =12，

∵ ， ，

∴

∵∠C=∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ=∠B，

∴PQ∥AB；

（2）解：如圖，

連接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ=∠DAB．

∵點D在∠BAC的平分線上，

∴∠DAQ=∠DAB，

∴∠ADQ=∠DAQ，

∴AQ=DQ．

在Rt△CPQ中，PQ=5x，

∵PD=PC=3x，

∴DQ=2x．

∵AQ=12﹣4x，

∴12﹣4x=2x，

解得x=2，

∴CP=3x=6．

【解析】（1）先用勾股定理求出AC，再用兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似，得出△PQC∽△BAC，從而有∠CPQ=∠B即可；（2）先判斷出AQ=DQ，再用勾股定理AQ，最后建立方程12﹣4x=2x，求解方程即可．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．