Question

【題目】已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)C在第一象限,且∠COA=60°,以OA、OC為鄰邊作菱形OABC,且菱形OABC的面積為.

(1)求B. C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿射線CB勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線BA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為2個(gè)單位/秒，連接PQ和AC，PQ和AC所在直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段BQ的中點(diǎn)，連接DE，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，請(qǐng)將△DQE的面積S用含t的式子表示，并直接寫出t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥y軸于點(diǎn)F，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B.、F.、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(3,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(9,3)；（2）S=；（3）當(dāng)t=0或4s時(shí)，以P.B. F. Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

【解析】

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，解直角三角形求出OD、CD的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

（2）分兩種情形討論即可①如圖2中，當(dāng)0≤t≤3時(shí)．②如圖3中，當(dāng)t>3時(shí)．分別想辦法構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（3）分三種情形①如圖4中，當(dāng)0≤t≤3時(shí)．②當(dāng)t>3時(shí)，由PB=QF時(shí)．③當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，構(gòu)建PB=QF構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，

設(shè)菱形OABC的邊長(zhǎng)為x，則OA=OC=BC=x，

∵∠COA=60°，

∴CD=OCsin60°=x，

∵菱形OABC的面積為，

∴xx=，

解得：x=±6，

∴OA=OC=BC=6，

∴CD=6×=3,OD=OCcos60°=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(3,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(9,3)；

(2)①如圖2中,當(dāng)0t3時(shí),作PK∥AB交AC于K，則△PCK是等邊三角形。作DH⊥AB于H.

∵PK=PC=AQ，∠PDK=∠ADQ，∠KPD=∠DQA，

∴△PDK≌△QDA，

∴DK=AD= (62t)=3t,DH=ADsin60°= (3t),EQ=BQ= (6+2t)=3+t，

∴S=QEDH=.

②如圖3中,當(dāng)t>3時(shí),作PK∥AB交AC于K，則△PCK是等邊三角形。作DH⊥AB于H.

由△PDK≌△QDA，

∴DK=AD= (2t6)=t3,DH=ADsin60°= (t3),EQ=BQ= (6+2t)=3+t，

∴S=QEDH=.

綜上所述,S= .

(3)①如圖4中，當(dāng)0t3時(shí)，作QK⊥OA于K.則AK=t，FQ=OK=6t，

當(dāng)PB=FQ時(shí)，四邊形PBQF是平行四邊形，

∴62t=6t，解得t=0.

②當(dāng)t>3時(shí)，由PB=QF時(shí)，2t6=6t，解得t=4，

③當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，由PB=QF可得，t6=2t6，解得t=0，此種情形不存在.

綜上所述，當(dāng)t=0或4s時(shí)，以P、B、 F.、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.