Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，點D是AB的中點，動點P、Q同時從點D出發（點P、Q不與點D重合），點P沿D→A以1cm/s的速度向中點A運動．點Q沿D→B→D以2cm/s的速度運動．回到點D停止．以PQ為邊在AB上方作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ABC重疊部分的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）．

（1）當點N在邊AC上時，求t的值．

（2）用含t的代數式表示PQ的長．

（3）當點Q沿D→B運動，正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形時，求S與t之間的函數關系式．

（4）直接寫出正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是軸對稱圖形時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）3t或4-t;（3）＜t≤時,S=﹣t2+10t﹣2； ≤t＜1時， S=﹣t2+6t；（4）0＜t≤或t= ．

【解析】試題分析：（1）由已知得出AD=BD=AB=2，由正方形的性質得出PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，由等腰直角三角形的性質得出∠A=∠B=45°，求出∠ANP=∠A=45°，得出AP=PN，即可得出答案；

（2）分兩種情況：①當0<t≤1時，PQ=3t；②當1<t<2時，BQ=2t-2，求出DQ=4-2t，得出PQ=PD+DQ=4-t；

（3）分兩種情況：①當時，QF=BQ=2-2t，ME=MF=5t-2，由正方形分面積減去等腰直角三角形的面積，即可得出答案；

②當≤t<1時，PG=AP=2-t，HQ=BQ=2-2t，由勾股定理得出AC=BC= ，由大等腰直角三角形的面積減去兩個小等腰直角三角形的面積，即可得出答案；

（4）分兩種情況：①0<t≤；②AP=BQ，BQ=2t-2，AP=2-t，解方程求出即可．

解：（1）如圖①所示：

∵AB=4，點D是AB的中點，

∴AD=BD=AB=2，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠ANP=∠A=45°，

∴AP=PN，

∴2﹣t=3t，

∴t=；

（2）分兩種情況：

①當0＜t≤1時，PQ=3t；

②當1＜t＜2時，BQ=2t﹣2，

∴DQ=2﹣（2t﹣2）=4﹣2t，

∴PQ=PD+DQ=4﹣t；

（3）分兩種情況：

①當＜t≤時，如圖②所示：

QF=BQ=2﹣2t，ME=MF=3t﹣（2﹣2t）=5t﹣2，

∴S=（3t）2﹣（5t﹣2）2=﹣t2+10t﹣2；

②當≤t＜1時，如圖③所示：

PG=AP=2﹣t，HQ=BQ=2﹣2t，

∵AC=BC=AB=2，

∴S=×（2）2﹣×（2﹣t）2﹣×（2﹣2t）2=﹣t2+6t；

（4）分兩種情況：

①如圖④所示：此時0＜t≤；

②如圖⑤所示：

此時AP=BQ，BQ=2t﹣2，AP=2﹣t，

∴2﹣t=2t﹣2，

解得：t=；

綜上所述：正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是軸對稱圖形時t的取值范圍為0＜t≤或t=．