Question

拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=2時，y的值相等．直線y=3x-7與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是4，另一點是這條拋物線的頂點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段BM上一點，過點P向x軸引垂線，垂足為Q．若點P在線段BM上運動（點P不與點B、M重合），設OQ的長為t，四邊形PQOC的面積為S．求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍．
（3）對于二次三項式x²-10x+36，小明同學作出如下結論：無論x取什么實數，它的值都不可能等于11．你是否同意他的說法？說明你的理由．

Answer 1

解：（1）①x=0和x=2時y的值相等，
∴拋物線的對稱軸為x=1，
又∵拋物線的頂點M在直線y=3x-7上，
∴M（1，-4），
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，
∵直線y=3x-7與拋物線的另一個交點為（4，5），
代入y=a（x-1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4
即為：y=x²-2x-3．

（2）由y=x²-2x-3可得出，
C（0，-3），B（3，0），M（1，-4），
設直線BM的解析式為y=kx+b，把B、M兩點代入求得，
直線BM的解析式為y=2x-6，
∴P（t，2t-6），QP=6-2t，CO=3，QO=t，
∴S_梯形PQOC=（6-2t+3）t=-t²+t，
因此S=-t²+t，（1＜t＜3）．

（3）不同意他的觀點．
假設x²-10x+36=11，
解得x₁=x₂=5，
∴當X=5時x²-10x+36等于11，
因此無論x取什么實數，x²-10x+36的值都不可能等于11的說法是錯誤的．
分析①利用二次函數的對稱性求出對稱軸，再求出M點的坐標，設出頂點式，代入另一點可求出；
②利用拋物線的解析式，求出C、B、M點的坐標，進一步求直線BM的解析式，用t表示出P點，最后用梯形的面積計算公式解答．
假設二次三項式x²-10x+36=11，如果求出方程有解，就說明小明的說法不正確．
點評：此題利用二次函數的對稱性、待定系數法、面積計算公式等知識來解決，滲透數形結合的思想．