Question

【題目】[問題發現]

如圖①，在中，點是的中點，點在邊上，與相交于點，若，則_____ ;

[拓展提高]

如圖②，在等邊三角形中，點是的中點，點在邊上，直線與相交于點，若，求的值.

[解決問題]

如圖③，在中，，點是的中點，點在直線上，直線與直線相交于點，.請直接寫出的長.

Answer 1

【答案】[問題發現]；[拓展提高]；[解決問題]或.

【解析】

[問題發現]由，可知AD是中線，則點P是△ABC的重心，即可得到2∶3；

[拓展提高]過點作交于點，則EF是△ACD的中位線，由平行線分線段成比例，得到，通過變形，即可得到答案；

[解決問題]根據題意，可分為兩種情況進行討論，①點D在點C的右邊；②點D在點C的左邊；分別畫出圖形，求出BP的長度，即可得到答案.

解：[問題發現]：∵，

∴點D是BC的中點，

∴AD是△ABC的中線，

∵點是的中點，則BE是△ABC的中線，

∴點P是△ABC的重心，

∴；

故答案為：.

[拓展提高]：過點作交于點.

是的中點，是的中點，

∴EF是△ACD的中位線，

，

，

，

∴，

，

即.

.

[解決問題]：∵在中，，，

∵點E是AC的中點，

∴，

∵CD=4，

則點D可能在點C的右邊和左邊兩種可能；

①當點D在點C的右邊時，如圖：過點P作PF⊥CD與點F，

∵，，

∴△ACD∽△PFD，

∴，即，

∴，

∵，，

∴△ECB∽△PBF，

∴，

∵，

∴，

解得：，

∴，，

∴；

②當點D在點C的左邊時，如圖：過點P作PF⊥CD與點F，

與①同理，可證△ACD∽△PFD，△ECB∽△PBF，

∴，，

∵，

∴，

解得：，

∴，，

∴；

∴或.