Question

【題目】如圖，G 為 BC 的中點，且 DG⊥BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， BE＝CF．

（1）求證：AD 是∠BAC 的平分線；

（2）如果 AB＝8，AC＝6，求 AE 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7.

【解析】

（1）因為G為BC的中點，且DG⊥BC，則DG是線段BC的垂直平分線，考慮連接DB、DC，利用線段的垂直平分線的性質，又因為DE⊥AB，DF⊥AC，可通過DE=DF說明AD是∠BAC的平分線；

（2）先通過△AED與△ADF的全等關系，說明AE與AF的關系，利用線段的和差關系，通過線段的加減求出AE的長．

（1）連接BD、DC

∵DG⊥BC，G為BC的中點，

∴BD=CD，

∵DG⊥BC，DE⊥AB

∴∠BED=∠CFD，

在Rt△DBE和Rt△DFC中，

∴△DBE≌△DFC

∴DE=DF，

∴∠BAD=∠FAD

∴AD是∠BAC的平分線；

（2）∵DE=DF，∠BAD=∠FAD，AD=AD

∴△AED≌△ADF，

∴AE=AF

∵AB=AE+BE，AC=AF-CF，

∴AB+AC=AE+AF，

∵AB=8，AC=6，

∴8+6=2AE，

∴AE=7．