Question

【題目】定義：如圖1，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上（點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合），如果△ABP的三邊滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)P為拋物線的勾股點(diǎn)。

（1）直接寫(xiě)出拋物線的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，已知拋物線C：與軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（1，）是拋物線C的勾股點(diǎn)，求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q在拋物線C上，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P）的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線勾股點(diǎn)的定義即可求解；

（2）作PG⊥x軸，由P點(diǎn)坐標(biāo)求得AG=1、PG=、 PA=2，由tan∠PAB=知∠PAG=60°,從而求得AB=4，即B（4，0），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；

（3）由SΔABQ=SΔABP且兩三角形同底，可知點(diǎn)Q到x軸的距離為，據(jù)此可求解.

試題解析： （1）拋物線y=﹣x2+1的勾股點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；

（2）拋物線y=ax2+bx過(guò)原點(diǎn)，即點(diǎn)A（0，0），

如圖，作PG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），

∴AG=1、PG=，PA==2，

∵tan∠PAB=，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB=，

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），

設(shè)y=ax（x﹣4），

將點(diǎn)P（1，）代入得：a=﹣，

∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，由S△ABQ=S△ABP知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，

則有﹣x2+x =，

解得：x1=3，x2=1（不符合題意，舍去），

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）；

②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，由S△ABQ=S△ABP知點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣

則有﹣x2+x =﹣，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q有3個(gè)：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．