Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
（1）如圖1，線段的長度為________________；

（2）如圖2，以為斜邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)、分別在軸、軸的負(fù)半軸上，且，以為邊在第三象限內(nèi)作正方形，請(qǐng)求出線段長度的最大值，并直接寫出此時(shí)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式．

圖2

 

Answer 1

（1）5 （2）直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（3）線段MG取最大值10+．
此時(shí)直線MG的解析式

解析試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半得線段的長度為5.
以為斜邊作等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí),過點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．
所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP．BC=AC，
可證得△BCQ≌△ACP．從而得CQ=CP．不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)(其中)．
設(shè)直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，，解得k=1，所以直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM.因?yàn)椤螦OB=90°，所以O(shè)M=．同理得ON=5．
在正方形DGFE，N為DE中點(diǎn)，DE=10，由勾股定理得NG=．在點(diǎn)M與G之間總有MO+ON+NG由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線,此時(shí)等號(hào)成立.這時(shí)線段MG取最大值10+．
此時(shí)直線MG的解析式
試題解析：（1）5
（2）如圖1,過點(diǎn)C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．
∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，
∴∠QCP=90°．
∵∠BCA=90°，
∴∠BCQ=∠ACP．
∵BC=AC，
∴△BCQ≌△ACP．
∴CQ=CP．
∵點(diǎn)在第一象限,
∴不妨設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，a)(其中)．
設(shè)直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，
∴，解得k=1，
∴直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為．           4分
（3）取DE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON、NG、OM.
∵∠AOB=90°，
∴OM=．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N為DE中點(diǎn)，DE=10，
∴NG=．
在點(diǎn)M與G之間總有MO+ON+NG(如圖2)，
由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線,此時(shí)等號(hào)成立（如圖3）.
∴線段MG取最大值10+．
此時(shí)直線MG的解析式
考點(diǎn)：1.直角三角形斜邊中線等于斜邊一半,2.在直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo),3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.