Question

【題目】如圖所示，AB是00的直徑，BC是⊙O的切線，連接AC，交⊙0于D，E為弧AD上一點，連接AE，BE交AC于點F且,(1)求證CB=CF；(2)若點E到弦AD的距離為3，cos C=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）6

【解析】試題分析：（1）如圖1，通過相似三角形的對應角相等推知， 又由弦切角定理、對頂角相等證得 最后根據等角對等邊證得結論；
（2）如圖2，連接OE交AC于點G，設的半徑是r.根據（1）中的相似三角形的性質證得∠4=∠5，所以由“圓周角、弧、弦間的關系”推知點E是弧的中點，則 然后通過解直角求得，則以求的值．

試題解析：(1)證明：如圖1，

∵

又∵∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△AEB，

∴∠1=∠EAB.

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，

∴∠2=∠3，

∴CB=CF；

(2)如圖2，連接OE交AC于點G，設的半徑是r.

由(1)知,△AEF∽△AEB,則∠4=∠5.

∴.=,

∴OE⊥AD，

∴EG=3

且

即

解得,r=6,即的半徑是6.