Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，點在的延長線上，是⊙上的兩點，，，延長交的延長線于點．

（1）求證:是⊙的切線；

（2）求證:；

（3）若，求弦的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD＋∠ABC＝90，可得出∠OCD＝90，即結論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，則CE＝CF；

（3）證明△DCB∽△DAC，可求出DA的長，求出AB長，設BC＝a，AC＝a，則由勾股定理可得AC的長．

（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90，

∴∠CAD＋∠ABC＝90，

∵CE＝CB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵∠BCD＝∠CAE，

∴∠CAB＝∠BCD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＋∠BCD＝90，

∴∠OCD＝90，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90，AC＝AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB＝CF，

又∵CB＝CE，

∴CE＝CF；

（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，

∴△DCB∽△DAC，

∴

∴=，

∴DA＝6，

∴

∴AB＝ADBD＝63＝3，

設BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：a2＋(a)2＝32，

解得：a＝，

∴AC＝．