Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與一次函數y=﹣x+4分別交y軸、x軸于A、B兩點．

（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設P（x，y）是拋物線在第一象限內的一個動點，過點P作直線PH⊥x軸于點H，交直線AB于點M．
①求當x取何值時，PM有最大值？最大值是多少？
②當PM取最大值時，以A、P、M、N為頂點構造平行四邊形，求第四個頂點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵一次函數y=﹣x+4分別交y軸、x軸于A、B兩點，

∴A（0，4），B（4，0），

把A（0，4），B（4，0）代入y=﹣ x2+bx+c可得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+4

（2）

解：①如圖1中，設P（x，﹣ x2+x+4），則M（x，﹣x+4）．

∴PM=﹣ x2+m+4﹣（﹣x+4）=﹣ x2+2x=﹣ （x﹣2）2+2，

∵﹣ ＜0，

∴x=2時，pM的值最大，最大值為2．

②由①可知P（2，4），M（2，2），

當以A、P、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，N1（0，6），N2（4，2），N3（0，2）．

【解析】（1）由直線解析式可求得A、B的坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）①可利用x表示出點M的坐標，構建二次函數即可解決問題．②畫出圖形，滿足條件的點N有三個．
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�