Question

如圖，正三角形ABC的邊長為l，點M，N，P分別在邊BC，AB上，設BM=x，CN=y，AP=z，且x+y+z=1．
（1）試用x，y，z表示△MNP的面積
（2）求△MNP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由正三角形ABC的邊長為l，BM=x，CN=y，AP=z，即可求得MC，NA，PB的值，又由S_△MNP=S_△ABC-S_△PBM-S_△MCN-S_△NAP與x+y+z=1，即可求得△MNP的面積；
（2）由（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1與x²+y²+z²≥xy+yz+zx，即可求得xy+yz+zx的最大值，繼而求得△MNP面積的最大值．

解答：解：（1）∵正三角形ABC的邊長為l，
∴AB=BC=AC=1，
∵BM=x，CN=y，AP=z，
∴MC=1-x，NA=1-y，PB=1-z，
∴S_△MNP=S_△ABC-S_△PBM-S_△MCN-S_△NAP=

3

4

-

1

2

x（1-z）

3

2

-

1

2

（1-x）y

3

2

-

1

2

（1-y）z

3

2

=

3

4

-

3

4

[x+y+z-（xy+yz+zx）]=

3

4

（xy+yz+zx）；

（2）∵x+y+z=1，
∴（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）=1，
∵x²+y²+z²≥xy+yz+zx，
∴xy+yz+zx≤

1

3

（當x=y=z=

1

3

時，等號成立），
∴S_△MNP=

3

4

（xy+yz+zx）≤

3

12

．

點評：此題考查了三角形的面積問題，幾何不等式的應用問題，以及正三角形的性質．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意幾何不等式的應用．