Question

【題目】如圖，△ACE，△ACD均為直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE與CD相交于點P，以CD為直徑的⊙O恰好經過點E，并與AC，AE分別交于點B和點F．

（1）求證：∠ADF=∠EAC．

（2）若PC=PA，PF=1，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

(1)由∠ACE=90°，得到∠EAC+∠FEC=90°．由∠ADC=90°，得到∠ADF+∠CDF=90°．從而有∠ADF=∠EAC;

(2)連接FC．先證△CPF∽△APC，再由相似三角形的性質得到PA的長，從而得到結論．

(1)證明：∵∠ACE=90°，

∴∠EAC+∠FEC=90°．

∵∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠CDF=90°．

又∵∠CDF=∠FEC，

∴∠ADF=∠EAC．

(2)如圖，連接FC．

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CFD=90°，

∴∠PCF+∠CDF=90°．

∵∠CDF=∠AEC，

∴∠CDF=∠PAC．

又∵∠CPF=∠APC，

∴△CPF∽△APC，

∴，

∵PC=PA，PF=1，

∴，解得：PA=，

∴AF=PA-PF=-1=．