Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A、B為反比例函數的圖像上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將的圖像繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為A’，B點的對應點為B’．

（1）點A’的坐標是　　 ，點B’的坐標是　　 ；

（2）在x軸上取一點P，使得PA+PB的值最小，直接寫出點P的坐標． 此時在反比例函數的圖像上是否存在一點Q，使△A’B’Q的面積與△PAB的面積相等，若存在，求出點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接AB’，動點M從A點出發沿線段AB’以每秒1個單位長度的速度向終點B’運動；動點N同時從B’點出發沿線段B’A’以每秒1個單位長度的速度向終點A’運動．當其中一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為t秒，試探究：是否存在使△MNB’為等腰直角三角形的t值．若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(4，﹣1)，(1，﹣4)；（2）存在，；（3）存在，8﹣8

【解析】

（1）利用旋轉的性質即可解決問題；

（2）由題意A和B′關于x軸對稱，B和A′關于x軸對稱，連接BB′交x軸于P，連接AP，此時PA+PB的值最小，因為直線BB′的解析式為，根據A′B′的解析式得到p點的坐標，最后利用面積相等求出PQ的解析式，解方程組即可得到答案；

（3）分兩種情形分別求解即可解決問題；

解：（1）∵點A、B為反比例函數的圖像上兩點，

A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，

∴得到：A（1，4），B（4，1），

根據旋轉的性質可知（4，-1），（1，-4）；
故答案為（4，-1），（1，-4）；

（2）∵A（1，4），B（4，1），根據旋轉的性質可知（4，-1），（1，-4），
∴A和關于x軸對稱，B和關于x軸對稱，
連接BB′交x軸于P，連接AP，此時PA+PB的值最小，

∵直線BB′的解析式為，

∴P（，0），

過點P作PQ∥A′B′交y＝于Q，如圖

∴S△PA’B’＝S△QA’B’，

∴直線PQ的解析式為y＝x﹣，

根據，消去y得到：，

解得或者（舍去）

∴點Q的橫坐標為.

（3）如圖：

①當時，，

∴8﹣t＝t，

∴解得：t＝8﹣8．

②當時，

∴t＝（8﹣t），

∴解得：t＝16﹣8（不合題意），

綜上，t＝()s時，是等腰直角三角形．