Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；

（3）把拋物線與直線y=x的交點(diǎn)稱為拋物線的不動點(diǎn)．若將（1）中拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時，平移后的拋物線總有不動點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣1；（2）△ABM為直角三角形．理由見解析；（3）當(dāng)m≤時，平移后的拋物線總有不動點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）分別寫出A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

根據(jù)OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分別得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，進(jìn)而得到△ABM是直角三角形；

（3）根據(jù)拋物線的平以后的頂點(diǎn)設(shè)其解析式為，

∵拋物線的不動點(diǎn)是拋物線與直線的交點(diǎn)，∴，

方程總有實(shí)數(shù)根，則≥0，得到m的取值范圍即可

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)A是直線與軸的交點(diǎn)，∴A點(diǎn)為（-1，0）

∵點(diǎn)B在直線上，且橫坐標(biāo)為2，∴B點(diǎn)為（2，3）

∵過點(diǎn)A、B的拋物線的頂點(diǎn)M在軸上，故設(shè)其解析式為：

∴，解得：

∴拋物線的解析式為．

（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：

作BC⊥軸于點(diǎn)C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；

點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，∴M點(diǎn)為（0，-1）∴OA＝OM＝1，

∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；

∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．

（3）將拋物線的頂點(diǎn)平移至點(diǎn)（， ），則其解析式為．

∵拋物線的不動點(diǎn)是拋物線與直線的交點(diǎn)，∴

化簡得：

∴＝＝

當(dāng)時，方程總有實(shí)數(shù)根，即平移后的拋物線總有不動點(diǎn)

∴．