Question

【題目】如圖，點C將線段AB分成兩部分，若AC2＝BCAB(AC＞BC)，則稱點C為線段AB的黃金分割點.某數學興趣小組在進行拋物線課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金拋物線”，類似地給出“黃金拋物線”的定義：若拋物線y＝ax2+bx+c，滿足b2＝ac(b≠0)，則稱此拋物線為黃金拋物線.

(Ⅰ)若某黃金拋物線的對稱軸是直線x＝2，且與y軸交于點(0，8)，求y的最小值；

(Ⅱ)若黃金拋物線y＝ax2+bx+c(a＞0)的頂點P為(1，3)，把它向下平移后與x軸交于A(+3，0)，B(x0，0)，判斷原點是否是線段AB的黃金分割點，并說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y有最小值為6；(Ⅱ)原點是線段AB的黃金分割點，理由見解析.

【解析】

(Ⅰ)根據對稱軸確定a和b的關系，再根據已知條件即可求解；

(Ⅱ)根據拋物線的頂點坐標確定x0的值，再根據黃金分割的定義即可判斷.

(Ⅰ)∵黃金拋物線的對稱軸是直線x＝2，

∴﹣＝2，

∴b＝﹣4a，又b2＝ac

∴16a2＝ac.

且與y軸交于點(0，8)，

∴c＝8.

∴a＝，b＝﹣2.

∴y＝x2﹣2x+8

＝(x﹣2)2+6，

∵＞0，

∴y有最小值為6.

(Ⅱ)原點是線段AB的黃金分割點.理由如下：

∵黃金拋物線y＝ax2+bx+c(a＞0)的頂點P為(1，3)，

把它向下平移后與x軸交于A(+3，0)，B(x0，0)，

∴x0＝﹣1﹣.

∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2.

OA2＝(3+)2＝14+6.

OBAB＝(1+ )(4+2)＝14+6.

∴OA2＝OBAB.

∴原點是線段AB的黃金分割點.