Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF.

(1)求證：OF＝BG；

(2)若AB＝4，求DC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析　　（2）.

【解析】（1）直接利用圓周角定理結合平行線的判定方法得出FO是△ABG的中位線，即可得出答案；

（2）首先得出△FOE≌△CBE（ASA），則BC=FO=AB=2，進而得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．

(1)證明：∵AB為⊙O的直徑

∴+=180°

∵點F是的中點，

∴＝＝90°，

∴∠AOF＝90°

又∵OA＝OF＝AB

∴∠OAF＝∠OFA＝45°

∵∠ABC＝∠ABG＝90

∴∠OAF＝∠G＝45°

∴AB＝BG

∴OF＝BG.

(2)在△FOE和△CBE中，

∠FOE＝∠CBE，OE=BE，∠OEF＝∠BEC，

∴△FOE≌△CBE(ASA)．

∴BC＝FO＝AB＝2.

∴AC＝＝2.

連接DB.

∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°.

由面積法可知，AB×BC= AC×BD

∴BD=.

由勾股定理，得DC＝.