Question

【題目】如圖，在中，平分．

（1）尺規作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），作的垂真平分線，與相交于點，與相交于點；

（2）在（1）條件下，連接，，和有何數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BAC+∠BGC=180°，理由見解析

【解析】

（1）作線段BC的垂直平分線即可；
（2）在AB上截取AD=AC，連接DG．首先證明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG=180°，利用四邊形內角和定理即可解決問題．

（1）線段BC的中垂線EG如圖所示；

（2）結論：∠BAC+∠BGC=180°．
理由：在AB上截取AD=AC，連接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵

∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG=∠ACG，DG=CG，
∵G在BC的垂直平分線上，
∴BG=CG，
∴BG=DG，
∴∠ABG=∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG=180°，
∴∠ABG+∠ACG=180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．