Question

【題目】【背景】已知：l∥m∥n∥k，平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d1，d2，d3，且d1＝d3＝1，d2＝2.我們把四個頂點分別在l，m，n，k這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形” ．

【探究1】(1)如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，BE⊥l于點E，BE的反向延長線交直線k于點F.求正方形ABCD的邊長．

【探究2】(2)如圖2，菱形ABCD為“格線四邊形”且∠ADC＝60°，△AEF是等邊三角形，AE⊥k于點E，∠AFD＝90°，直線DF分別交直線l，k于點G、點M.求證：EC＝DF．

【拓展】(3)如圖3，l∥k，等邊△ABC的頂點A，B分別落在直線l，k上，AB⊥k于點B，且∠ACD＝90°，直線CD分別交直線l、k于點G、點M，點D、點E分別是線段GM、BM上的動點，且始終保持AD＝AE，DH⊥l于點H.猜想：DH在什么范圍內，BC∥DE？并說明此時BC∥DE的理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）當2＜DH＜4時，BC∥DE．理由見解析.

【解析】（1）證明△ABE≌△BCF，即可求得AE的長，然后利用勾股定理即可求解；
（2）過B作BE⊥l于點E，交k于點F，易證△AEB∽△BCF，然后分AB是長和AB是寬兩種情況進行討論求得；
（3）連接AC，證明直角△AEC≌直角△AFD即可證得；
（4）首先證明AM⊥BC，然后證明Rt△ABE≌Rt△ACD，得到∠BAE=∠CAD，則AM⊥ED，即可證得BC∥DE．

（1）解：∵l∥k，BE⊥l，

∴∠BFC=∠BEA=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠ABE+∠CBF=90°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，∠BEA=∠CFB，∠BAE=∠CBF，AB=BC

，∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

∵d1=d3=1，d2=2，

∴BE=3，AE=1，

在直角△ABE中，AB===，

即正方形的邊長是；

（2）證明：連接AC，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，

∴AC=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

∵AE⊥k，∠AFD=90°，

∴∠AEC=∠AFD=90°，

在Rt△AEC和Rt△AFD中，AC=AD，AE=AF，

，

∴Rt△AEC≌Rt△AFD（HL），

∴EC=DF；

（3）解：當2＜DH＜4時，BC∥DE．理由如下：

如圖3所示，當2＜DH＜4時，點D在線段CM上，連接AM，

則∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，

在Rt△ABM和Rt△ACM中，AM=AM，AB=AC，

，

∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），

∴∠BAM=∠CAM，

∴AM⊥BC，

在Rt△ABE和Rt△ACD中，AE=AD，AB=AC，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），

∴∠BAE=∠CAD，

∴∠EAM=∠DAM，

∴AM⊥ED，

∴BC∥DE．

“點睛”本題考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，正確構造相似的三角形是關鍵，解題時根據題意正確作出輔助線．