Question

【題目】已知，如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點E、F，∠1與∠2互補．

(1)試判斷直線AB與CD的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，EP與CD交于點G，點H是MN上的一點且GH⊥EG．求證：PF∥GH．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）根據對頂角相等、等量代換可以推知同旁內角∠AEF、∠CFE互補，所以易證AB∥CD；
（2）根據（1）中平行線的性質推知°；然后根據角平分線的性質、三角形內角和定理證得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故結合已知條件GH⊥EG，易證PF∥GH．

：（1）AB∥CD；
理由：如圖1，∵∠1與∠2互補，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）如圖2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF與∠EFD的角平分線交于點P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．