Question

【題目】如圖，在矩形中，，，連接，并過點作，垂足為，直線垂直，分別交、于點、．直線從出發，以每秒的速度沿方向勻速運動到為止；點沿線段以每秒的速度由點向點勻速運動，到點為止，直線與點同時出發，設運動時間為秒（）．

（1）線段_________；

（2）連接和，當四邊形為平行四邊形時，求的值；

（3）在整個運動過程中，當為何值時的面積取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）時，的面積取得最大值，最大值為．

【解析】

（1）由矩形的性質和勾股定理可求BD的長，由三角形的面積公式可求CN的長；

（2）由勾股定理可求DN的長，通過證明△DMN∽△DAB，可得，可得DM的值，即可求t的值；

（3）分兩種情況討論，利用三角形面積公式列出△PMN的面積與t的關系式，可求△PMN的面積的最大值．

（1）∵四邊形是矩形

∴，，

∴，

∵

∴

故答案為：;

（2）在中，

∵四邊形為平行四邊形時

∴，且，

∴

∴

∴

∴

即

∴

∴;

（3）∵，∴

如圖，過點作于點，

∵

∴

∴

當

∵，

∴，

∴

∴=

∴當時，有最大值，且最大值為，

則當時，點與點重合時，點，點，點不構成三角形；

當時，如圖，

∴

∴=

當時，隨的增大而增大，

∴當時，最大值為，

∵

∴綜上所述：時，的面積取得最大值，最大值為．