Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，以AD為直徑作⊙O，連接BO并延長至點E，使得OE=OB，交⊙O于點F，連接AE，CE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求證：四邊形ADCE是矩形；
（3）若BD= AD=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，

∴∠ODB=90°，

在△BOD和△EOA中，

，

∴△BOD≌△EOA，

∴∠OAE=∠ODB=90°，

∵點A在圓上，

∴AE是⊙O的切線；

（2）由（1）知，△BOD≌△EOA，

∴BD=AE，

∵AD是BC邊上的中線，

∴CD=BD，

∴AE=CD，

∵∠OAE=∠ODB=90°，

∴AE∥BC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形

∵∠OAE=90°，

∴平行四邊形ADCE是矩形；

（3）解：∵∠ODB=90°，BD=OD，

∴∠BOD=45°，

∴∠AOE=45°

∵∠OAE=90°，

∴AE=OA= AD=4

∴S△OAE= ×OA×AE= ×4×4=8，

S扇形OAF=π×42× =2π，

∴S陰影部分=S△OAE﹣S扇形OAF=8﹣2π．

【解析】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質，得出∠ODB=90°，從而得出△BOD≌△EOA，得出∠OAE=∠ODB=90°，即可；（2）利用（1）△BOD≌△EOA和三角形的中線得出結論；（3）先判斷出AE=OA=4，陰影部分面積用三角形OAE的面積減去扇形OAF的面積即可．