Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，AE是角平分線，D是AB上的點，AE、CD相交于點F．
（1）若∠ACB=∠CDB=90°，求證：∠CFE=∠CEF；
（2）若∠ACB=∠CDB=m（0°＜m＜180°）． ①求∠CEF﹣∠CFE的值（用含m的代數式表示）；
②是否存在m，使∠CEF小于∠CFE，如果存在，求出m的范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠B=90°﹣∠DCB，∠ACD=90°﹣∠DCB，

∴∠B=∠ACD．

∵AE平分∠CAB，

∴∠CFE=∠ACD+ ∠CAB，∠CEF=∠B+ ∠CAB，

∴∠CFE=∠CEF

（2）解：①∵∠CFE=∠ACD+ ∠CAB，∠CEF=∠B+ ∠CAB，

∴∠CFE﹣∠CEF=∠B﹣∠ACD．

∵∠B=180°﹣m﹣∠DCB，∠ACD=m﹣∠DCB，

∴∠CEF﹣∠CFE=（180°﹣m﹣∠DCB）﹣（m﹣∠DCB）=180°﹣2m；

②存在．

∵要使∠CEF小于∠CFE，則∠CEF﹣∠CFE＜0，

∴180°﹣2m＜0，解得m＞90°，

∴當90°＜m＜180°時，∠CEF的值小于∠CFE

【解析】（1）先根據∠ACB=∠CDB=90°得出∠B=90°﹣∠DCB，∠ACD=90°﹣∠DCB，再由AE平分∠CAB即可得出結論；（2）①根據三角形外角的性質可得出∠CFE=∠ACD+ ∠CAB，∠CEF=∠B+ ∠CAB，故∠CFE﹣∠CEF=∠B﹣∠ACD，再由∠B=180°﹣m﹣∠DCB，∠ACD=m﹣∠DCB即可得出結論；②根據∠CEF小于∠CFE可知∠CEF﹣∠CFE＜0，故180°﹣2m＜0，進而可得出結論．
【考點精析】利用三角形的內角和外角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．