Question

幾何解答題
（1）如圖，延長線段AB到C，使BC=

1

2

AB，D為AC的中點，DC=2，求AB的長．
（2）如圖，將一副直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
①如圖1，若CE恰好是∠ACD的角平分線，請直接回答此時CD是否是∠ECB的角平分線？
②如圖2，若∠ECD=α，CD在∠BCE的內(nèi)部，請你猜想∠ACE與∠DCB是否相等？并簡述理由；
③在②的條件下，請問∠ECD與∠ACB的和是多少？并簡述理由．

Answer 1

分析：（1）由D為AC的中點，根據(jù)DC的長求出AC的長，再由AB=2BC，求出AB在AC中占的份數(shù)，即可求出AB的長；
（2）①由∠ACD為直角，且CE為角平分線，得到一對角相等，再由∠ECB為直角，確定出∠ECD=∠DCB，即可確定出CD為角平分線；
②∠ACE=∠DCB，理由為：由∠ACD與∠ECB都為直角，利用同角的余角相等即可得證；
③兩角之和為180°，理由為：延長BC，延長線為BE，由鄰補角定義得到∠ACG+∠ACB=180°，再利用同角的余角相等得到∠ECD=∠ACG，即可得證．

解答：解：（1）∵D為AC的中點，DC=2，
∴AC=2DC=4，
∵BC=

1

2

AB，
∴AB=

2

3

AC=

8

3

；

（2）①∠ACD=90°，CE為∠ACD的平分線，
∴∠ACE=∠ECD=45°，
∵∠ECB=90°，
∴∠ECD=∠DCB=45°，
∴CD平分∠ECB；
②∠ACE=∠DCB，理由為：
∵∠ACE+∠ECD=90°，∠DCB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠DCB；
③延長BC，延長線為BG，
∵∠ACG+∠ACE=90°，∠ECD+∠ACE=90°，
∴∠ECD=∠ACG，
∴∠ECD+∠ACB=∠ACG+∠ACB=180°．

點評：此題考查了角的計算，角平分線定義，是一道基本題型．