Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點F（2，0），直線GF交y軸正半軸于點G，且∠GFO=30°．

（1）直接寫出點G的坐標；
（2）若⊙O的半徑為1，點P是直線GF上的動點，直線PA、PB分別約⊙O相切于點A、B．
①求切線長PB的最小值；
②問：在直線GF上是夠存在點P，使得∠APB=60°，若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）；（2）①PB的最小值為；②存在，P點坐標為（0，2）或（，1）．

【解析】

（1）根據含30度的直角三角形的三邊的關系得到OG=OF=2，于是得到G點坐標為（0，2）；
（2）連結OA、OB、OP，①由于PB為⊙O的切線，根據切線的性質得OB⊥PB，在Rt△POB中，根據勾股定理得PB=，則當OP最小時，PB最小，此時OP⊥FG，在Rt△OPF中，根據含30度的直角三角形的三邊的關系得到OP= ，于是得到PB的最小值為 ；②由于PA、PB為⊙O的切線，根據切線長定理得∠OPB=∠APB=30°，在Rt△OPB中，根據含30度的直角三角形的三邊的關系得OP=2OB=2，由于OG=2，所以點P在點G的位置時，滿足要求，此時P點坐標為（0，2）；由∠OFG=30°，可得∠OGF=60°，GF=2OG=4，加上OP=OG=2，于是可判斷△OPG為等邊三角形，則PG=OP=2，可判斷點P為GF的中點，然后根據線段的中點坐標公式得到此時P點坐標為（，1）．

（1）∵點F的坐標為（2，0），
∴OF=2，
∵∠GFO=30°，
∴OG=OF=2，
∴G點坐標為（0，2）；
（2）連結OA、OB、OP，如圖，
①∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，

在Rt△POB中，OB=1，
∴PB=，
∴當OP最小時，PB最小，
此時OP⊥FG，
在Rt△OPF中，OF=2，∠OFP=30°，
∴OP=，
∴PB的最小值為；
②存在．
∴PA、PB為⊙O的切線，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPB=∠APB=×60°=30°，
在Rt△OPB中，OB=1，∠OPB=∠APB=30°，
∴OP=2OB=2，
∵OG=2，
∴點P在點G的位置時，滿足要求，此時P點坐標為（0，2）；
∵∠OFG=30°，
∴∠OGF=60°，GF=2OG=4，
∵OP=OG=2，
∴△OPG為等邊三角形，
∴PG=OP=2，
∴點P為GF的中點，
∴此時P點坐標為（，1），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，2）或（，1）．